viernes, 31 de julio de 2009

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS

RESEÑA HISTÓRICA (George Cantor) Gran filósofo y matemático, nacido en San Petersburgo en 1845. Su primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que había el mismo número de puntos en el plano que en la recta. Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y que algunos conjuntos, que aparentemente tienen más elementos que otros, realmente tienen los mismos. Por ejemplo, existe la misma cantidad de números pares que de naturales; el conjunto de enteros es del mismo tamaño que el de los naturales; hay igual número de racionales que de naturales. Sin embargo, hay más números reales que naturales.
Cantor murió en un hospital de enfermedades mentales en Halle, en 1918, a los 73 años. Si Cantor viviera hoy, podría estar orgulloso del movimiento que se ha producido hacia un pensamiento más riguroso en la Matemática, de lo cual él es ampliamente responsable, por sus esfuerzos para colocar el Análisis y el infinito sobre una base sólida.


OBJETIVOS GENERALES
• Reconocer ecuaciones de segundo grado y utilizar herramientas algebraicas para factorizar la ecuación cuadrática.
• Utilizar la formula general en la solución de la ecuación cuadrática.
• Mostrar la aplicabilidad de la ecuación cuadrática en diferentes situaciones, problemas.


MARCO TEÓRICO
A continuación se presentan los conceptos relacionados con la ecuación cuadrática en la formula general:
i) La ecuación: ax2 + bx + c = 0 , donde a, b y c son números reales y a  0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x .
ii) Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa o afectada; incompleta, en caso contrario.
Así, las ecuaciones: 3x2 + 5x = 20 y x2 + x + 12 = 0 ; y son cuadráticas completas, mientras que las ecuaciones: x2 + 9 = 0 y 3x2 +5x = 0 son cuadráticas incompletas.
iii) En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 , la cantidad: es llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema.

Teorema.
Considere la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ; a  0.
Si , entonces, las raíces son reales y diferentes.
Si , entonces, las raíces son reales e iguales.
Si , entonces, las raíces son complejas conjugadas.


FORMULA GENERAL
La solución de la ecuación cuadrática : , con a  0 viene dada por


EJERCICIO RESUELTO
Utilizar la formula general para hallar las soluciones de la ecuación 3x2 - 4x + 1 = 0

Solución:
Podemos ver en la ecuación que a = 3, b = -4 y c = 1, luego



EJERCICIO RESUELTO
Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos

Solución:
Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa es el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.
Operando: x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1+ x2.

Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x2 - 2x - 3 = 0
Factorizando encontramos (x – 3)(x + 1) = 0, luego sus soluciones: x = 3 y x = -1
EJERCICIO RESUELTO


Se lanza verticalmente hacia arriba un cohete, desde el piso, como se ve en la figura. La velocidad inicial es 120 pies/s, y la única fuerza que actúa es la gravedad. En estas condiciones, la altura sobre el piso, h (en pies), del cohete, al haber transcurrido t segundos, está expresada por

h = –16t2 + 120t.

En la siguiente tabla hay algunos valores de h para los primeros 7 s de vuelo.

t (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7
h (pies) 0 104 176 216 224 200 144 56
Según la tabla, se observa que al ascender, el cohete llega a 180 pies sobre el piso entre t = 2 y t = 3. Al descender, está a 180 pies sobre el piso entre t = 5 y t = 6. Para calcular los valores exactos de t, para los cuales h = 180 pies, se debe resolver la ecuación
180 = –16t2 + 120t,
16t2 – 120t + 180 = 0.

La altura h, en pies, sobre el piso que alcanza un cohete de juguetea a los t segundos de haber sido disparado, es h = –16t2+ 120t. ¿Cuándo llegará el cohete a 180 pies sobre el piso?

Solución
Empleando h = –16t2+ 120t se obtiene
180 = –16t2 + 120t sea h = 180
16t2 – 120t + 180 = 0 se suma 16t2 + 120t
4t2 – 30t + 45 = 0 se divide entre 4
Se aplica la fórmula cuadrática con a = 4, b = – 30 y c = 45, y se tiene
.

Por lo tanto, el cohete se encuentra a 180 pies sobre el piso en los siguientes instantes:



EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Utilizar la formula general para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 2x + 1 = 0
b) 4x2 + x + 7 = 0
c) 2x2 + 2x - 1 = 0
d) 5x2 – 13x + 8 = 0
2. Hallar dos enteros consecutivos cuyo producto sea 552.

3. Hallar dos enteros consecutivos pares cuyo producto sea 728.

4. Si al cuadrado de un número se le resta 54 se obtiene el triple del número. ¿Cuál es el número?

5. Un número excede a otro en 4 unidades. Si el producto de ambos es 285, ¿cuáles son los números?

6. El largo de un rectángulo excede en 6 pies al ancho. Si el área es de 720 pies2, ¿cuáles son sus dimensiones.

7. Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 3 cm. más que el otro cateto y 3 cm. menos que la hipotenusa. Hallar las longitudes de los tres lados.

8. Un rectángulo tiene de largo 1 m. menos de longitud que su diagonal y 7 m. más que de ancho. Hallar su perímetro.

9. Una piscina que tiene 20 m. de largo y 8 m. de ancho está bordeada por una acera de ancho uniforme. Si el área de la acera es de 288 m2, ¿de cuánto es su ancho?

10. A un cuadro al óleo que mide 1.50 m. de largo por 90 cm. de alto se pone un marco de ancho constante. Si el área total del cuadro y el marco es de 1.6 m2, ¿cuál es el ancho del marco?

11. En un torneo de ajedrez cada jugador juega una vez con cada uno de los restantes jugadores. Si en total se juegan 45 partidas, ¿cuántos jugadores toman parte en el torneo?

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