APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS

RESEÑA HISTÓRICA (George Cantor) Gran filósofo y matemático, nacido en San Petersburgo en 1845. Su primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que había el mismo número de puntos en el plano que en la recta. Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y que algunos conjuntos, que aparentemente tienen más elementos que otros, realmente tienen los mismos. Por ejemplo, existe la misma cantidad de números pares que de naturales; el conjunto de enteros es del mismo tamaño que el de los naturales; hay igual número de racionales que de naturales. Sin embargo, hay más números reales que naturales.
Cantor murió en un hospital de enfermedades mentales en Halle, en 1918, a los 73 años. Si Cantor viviera hoy, podría estar orgulloso del movimiento que se ha producido hacia un pensamiento más riguroso en la Matemática, de lo cual él es ampliamente responsable, por sus esfuerzos para colocar el Análisis y el infinito sobre una base sólida.


OBJETIVOS GENERALES
• Reconocer ecuaciones de segundo grado y utilizar herramientas algebraicas para factorizar la ecuación cuadrática.
• Utilizar la formula general en la solución de la ecuación cuadrática.
• Mostrar la aplicabilidad de la ecuación cuadrática en diferentes situaciones, problemas.


MARCO TEÓRICO
A continuación se presentan los conceptos relacionados con la ecuación cuadrática en la formula general:
i) La ecuación: ax2 + bx + c = 0 , donde a, b y c son números reales y a  0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x .
ii) Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa o afectada; incompleta, en caso contrario.
Así, las ecuaciones: 3x2 + 5x = 20 y x2 + x + 12 = 0 ; y son cuadráticas completas, mientras que las ecuaciones: x2 + 9 = 0 y 3x2 +5x = 0 son cuadráticas incompletas.
iii) En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 , la cantidad: es llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema.

Teorema.
Considere la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ; a  0.
Si , entonces, las raíces son reales y diferentes.
Si , entonces, las raíces son reales e iguales.
Si , entonces, las raíces son complejas conjugadas.


FORMULA GENERAL
La solución de la ecuación cuadrática : , con a  0 viene dada por


EJERCICIO RESUELTO
Utilizar la formula general para hallar las soluciones de la ecuación 3x2 - 4x + 1 = 0

Solución:
Podemos ver en la ecuación que a = 3, b = -4 y c = 1, luego



EJERCICIO RESUELTO
Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos

Solución:
Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa es el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.
Operando: x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1+ x2.

Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x2 - 2x - 3 = 0
Factorizando encontramos (x – 3)(x + 1) = 0, luego sus soluciones: x = 3 y x = -1
EJERCICIO RESUELTO


Se lanza verticalmente hacia arriba un cohete, desde el piso, como se ve en la figura. La velocidad inicial es 120 pies/s, y la única fuerza que actúa es la gravedad. En estas condiciones, la altura sobre el piso, h (en pies), del cohete, al haber transcurrido t segundos, está expresada por

h = –16t2 + 120t.

En la siguiente tabla hay algunos valores de h para los primeros 7 s de vuelo.

t (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7
h (pies) 0 104 176 216 224 200 144 56
Según la tabla, se observa que al ascender, el cohete llega a 180 pies sobre el piso entre t = 2 y t = 3. Al descender, está a 180 pies sobre el piso entre t = 5 y t = 6. Para calcular los valores exactos de t, para los cuales h = 180 pies, se debe resolver la ecuación
180 = –16t2 + 120t,
16t2 – 120t + 180 = 0.

La altura h, en pies, sobre el piso que alcanza un cohete de juguetea a los t segundos de haber sido disparado, es h = –16t2+ 120t. ¿Cuándo llegará el cohete a 180 pies sobre el piso?

Solución
Empleando h = –16t2+ 120t se obtiene
180 = –16t2 + 120t sea h = 180
16t2 – 120t + 180 = 0 se suma 16t2 + 120t
4t2 – 30t + 45 = 0 se divide entre 4
Se aplica la fórmula cuadrática con a = 4, b = – 30 y c = 45, y se tiene
.

Por lo tanto, el cohete se encuentra a 180 pies sobre el piso en los siguientes instantes:



EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Utilizar la formula general para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 2x + 1 = 0
b) 4x2 + x + 7 = 0
c) 2x2 + 2x - 1 = 0
d) 5x2 – 13x + 8 = 0
2. Hallar dos enteros consecutivos cuyo producto sea 552.

3. Hallar dos enteros consecutivos pares cuyo producto sea 728.

4. Si al cuadrado de un número se le resta 54 se obtiene el triple del número. ¿Cuál es el número?

5. Un número excede a otro en 4 unidades. Si el producto de ambos es 285, ¿cuáles son los números?

6. El largo de un rectángulo excede en 6 pies al ancho. Si el área es de 720 pies2, ¿cuáles son sus dimensiones.

7. Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 3 cm. más que el otro cateto y 3 cm. menos que la hipotenusa. Hallar las longitudes de los tres lados.

8. Un rectángulo tiene de largo 1 m. menos de longitud que su diagonal y 7 m. más que de ancho. Hallar su perímetro.

9. Una piscina que tiene 20 m. de largo y 8 m. de ancho está bordeada por una acera de ancho uniforme. Si el área de la acera es de 288 m2, ¿de cuánto es su ancho?

10. A un cuadro al óleo que mide 1.50 m. de largo por 90 cm. de alto se pone un marco de ancho constante. Si el área total del cuadro y el marco es de 1.6 m2, ¿cuál es el ancho del marco?

11. En un torneo de ajedrez cada jugador juega una vez con cada uno de los restantes jugadores. Si en total se juegan 45 partidas, ¿cuántos jugadores toman parte en el torneo?

Evaluacion

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Problemas de lógica. No interviene el algoritmo. Utilización del razonamiento por deducción, inducción y analogía.
** Ayer fue viernes. -Dije ayer. ¿Qué día será mañana?

** En una bolsa opaca hay tres bolas. Una de color verde, otra de color rojo y otra de color amarillo. Tres niños A, B y C sacan cada uno una bola. El niño que saque la bola amarilla cantará una canción, el que saque la bola roja tocará el órgano y el que saque la verde acompañará el espectáculo tocando la armónica. Los tres niños han cogido bola y sólo la han visto ellos. Cuando se les pregunta por la bola que han sacado, el niño A dice que ha sacado la bola verde, el niño B dice que no ha sacado la amarilla, el niño C dice que no ha sacado la roja. Sabiendo que uno, y sólo uno, de los niños miente, averigua quién canta, quién toca el órgano y quién la armónica. Te diremos que el niño A no toca el órgano

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Estándares básicos de competencias en Matemáticas
Los estándares en matemáticas buscan que a partir de la interacción permanente entre el maestro y sus alumnos y entre éstos y sus compañeros, sean capaces, a través de la exploración, de la abstracción, de clasificaciones, mediciones y estimaciones, de llegar a resultados que les permitan comunicarse, hacer interpretaciones y representaciones; en fin, descubrir que las matemáticas están íntimamente relacionadas con la realidad y con las situaciones que los rodean, no solamente en su institución educativa, sino también en la vida fuera de ella.Igualmente los estándares relacionan las matemáticas con el desarrollo del pensamiento racional (razonamiento lógico, abstracción, rigor y precisión) de los estudiantes, esencial para el aprendizaje en ciencia y tecnología, pero además, para contribuir a la formación de ciudadanos responsables y diligentes frente a las situaciones y decisiones de orden local y nacional, por tanto, al sostenimiento o consolidación de estructuras sociales democráticas.

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Este blog sera de gran ayuda para tus consultas,inquietudes dudas y muy especialmente practicar las competencias de tipo Comunicativo, interpretativo y argumentativo y de manera muy ludica te permite acceder a la consulta de logros y avances en la matemática

los quiero mucho


HISTORIA


Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas